Diedri

Si chiama angolo diedro, o semplicemente diedro, la figura costituita da due semipiani aventi la stessa origine e da una delle due parti di spazio da essi limitata.

I semipiani si dicono le facce del diedro e ne costituiscono il contorno; la retta si dice spigolo del diedro.

I punti di un diedro che non appartengono alle facce si dicono punti interni al diedro, gli altri punti, esclusi quelli del contorno, si dicono esterni.

Un diedro si dice piatto se le sue facce sono una il prolungamento dell’altra.

Un diedro si dice convesso se non contiene il prolungamento delle sue facce, concavo altrimenti.

Due diedri sono consecutivi se hanno in comune lo spigolo e una faccia, mentre le altre due facce sono si trovano da parti opposte rispetto a quella comune.

Se due diedri si dicono adiacenti se sono consecutivi e le facce non comuni sono una il prolungamento dell’altra.

Si dice somma di due diedri ogni diedro che sia la somma di due diedri consecutivi ordinatamente congruenti ai diedri dati.

Si definisce sezione normale di un diedro la sua intersezione con un piano perpendicolare allo spigolo, ossia la sezione normale di un diedro è l’anglo delimitato dalle due semirette di intersezione tra il piano normale allo spigolo e le facce del diedro.

Due diedri la cui somma sia un diedro piatto si dicono supplementari.

Teorema
Tutte le sezioni normali di un diedro sono congruenti.
Due diedri sono congruenti se e solo se hanno sezioni normali congruenti.

Misura di un diedro

Si dice misura di un diedro la misura di una sezione normale e si esprime in gradi, primi, secondi oppure in radianti.

Due diedri si dicono opposti allo spigolo se hanno lo stesso spigolo e le facce dell’uno sono i prolungamenti di quelle dell’altro. Due diedri opposti allo spigolo sono congruenti.

Un diedro si dice retto se è la metà di un diedro piatto.

Un diedro si dice acuto se è minore di un diedro retto, ottuso se è maggiore di un diedro retto.

Due diedri si dicono complementari se la loro somma è un diedro retto.

Esercizi

Angoloidi

Definizione di angoloide.

Si chiama angoloide convesso la figura solida formata da una superficie piramidale convessa e da tutti i suoi punti interni.

Il vertice, gli spigoli, le facce della superficie diconsi il vertice, gli spigoli, le facce dell’ angoloide. L’insieme delle facce costituisce il contorno dell’ angoloide.

Dati un poligono convesso di un numero n ³ 3 qualsiasi di lati e un punto V  esterno al suo piano, si chiama angoloide (o piramide indefinita ) di vertice V la figura formata da tutte le semirette di origine V  che passano per i diversi punti del dato poligono.

L’intersezione di un angoloide con un piano che ne tagli tutti gli spigoli e non passi per il vertice è un poligono.

Un angoloide ha tante facce quanti spigoli.

Un angoloide si dice triedro, tetraedro, pentaedro, ecc.. a seconda che abbia tre, quattro, cinque …… facce.

L’angoloide triedro si chiama semplicemente triedro.

Un angoloide avente tutte le facce congruenti e tutti i diedri congruenti si dice regolare.

Teorema
Le sezioni di un angoloide con due piani paralleli non passanti per il vertice, sono due poligoni simili, che hanno i perimetri proporzionali alle distanze dei piani dal vertice e le aree proporzionali ai quadrati delle stesse distanze.

Teorema 1
In un angoloide ogni faccia è minore della somma di tutte le altre.

Teorema 2
La somma delle facce di un angoloide convesso è minore di un quattro diedri retti

Congruenza dei triedri

Due triedri sono congruenti se hanno

1. due facce e il diedro tra esse compreso ordinatamente congruenti
2. due diedri e la faccia ad essi comune ordinatamente congruenti
3. le facce ordinatamente congruenti
4. i tre diedri ordinatamente congruenti

Esercizi