Disequazione in una variabile

Siano A(x), B(x) due espressioni nella variabile x.

La disuguaglianza
                        A(x) > B(x)       (A(x) B(x))

ovvero
                        B(x) < A(x)       (B(x) A(x))
si dice disequazione nella variabile x.

Ogni numero che sostituito ad x rende vera la disuguaglianza
si dice soluzione della disequazione.

 


Disequazioni equivalenti

Due disequazioni
si dicono equivalenti
se ogni soluzione della prima soluzione della seconda
e viceversa.

 


Condizioni per l'equivalenza
di due disequazioni

La disequazione
A(x) > B(x)
equivalente alla disequazione
hA(x) > hB(x)
se h un numero positivo,

equivalente alla disequazione
hA(x) < hB(x)
se h un numero negativo.


La disequazione
A(x) > B(x)
equivalente alla disequazione
A(x) + C(x) > B(x) + C(x)
con C(x) espressione qualsiasi nella variabile x.

 

Pertanto la disequazione A(x) > B(x)
se si sceglie C(x) = -B(x)
equivalente alla disequazione
A(x) - B(x) > 0.


 

Disequazione di primo grado

Si dice disequazione di primo grado nell'incognita x
ogni disequazione del tipo:

a1 x + a0 > 0

con a1, a0 coefficienti numerici, a1 0.

Da a1 x + a0 > 0
sommando ad entrambi i membri -a0
si ottiene la disequazione equivalente a1 x > -a0,
quindi moltiplicando entrambi i membri per
si ottengono le soluzioni della disequazione:
se a1 > 0 allora l'insieme delle soluzioni
ovvero

 

se a1 < 0 allora l'insieme delle soluzioni
ovvero

 

Esempio:
3x + 2 > 0
ammette come soluzioni
x > - 2 / 3

 

Esempio:
- 5x + 1 > 0
ammette come soluzioni
x < 1 / 5

 


 

Disequazione di secondo grado

Si dice disequazione di secondo grado nell'incognita x
ogni disequazione del tipo:

a2 x2 + a1 x + a0 > 0

con a2, a1, a0 coefficienti numerici, a2 0
o con un cambio di lettere

a x2 + b x + c > 0

Senza perdere di generalit si pu supporre a > 0:
infatti se non lo fosse possibile
moltiplicare entrambi i membri della disequazione per -
1
e ottenere il coefficiente del termine di secondo grado positivo.

 

Si distinguono quindi tre casi:


se b2 - 4ac > 0 allora
l'equazione a x2 + b x + c = 0
associata alla disequazione data
ammette due soluzioni reali e distinte x1, x2
e l'insieme delle soluzioni della disequazione

ovvero
(
-, x1) (x2, +)


se b2 - 4ac = 0 allora
l'equazione a x2 + b x + c = 0
associata alla disequazione data
ammette due soluzioni reali e coincidenti x1 = x2
e l'insieme delle soluzioni della disequazione

ovvero
(-, x1) (x1, +)


se b2 - 4ac < 0 allora
l'equazione a x2 + b x + c = 0
associata alla disequazione data
non ammette soluzioni reali
e la disequazione soddisfatta da ogni valore di x reale
ossia
(-, +)

 


Di conseguenza, data la disequazione
a x2 + b x + c < 0

se b2 - 4ac > 0 allora
l'insieme delle soluzioni della disequazione

ovvero
(x1, x2)


se b2 - 4ac = 0 allora
la disequazione non ammette soluzioni reali


se b2 - 4ac < 0 allora
la disequazione non ammette soluzioni reali

 

Esempio:
Risolvere la disequazione
x2 - 5 x + 6 < 0
risolvere l'equazione associata

l'intervallo delle soluzioni della disequazione
(2, 3)

 

Esempio:
Risolvere la disequazione
x2 - 10 x + 25 0
risolvere l'equazione associata

la soluzione della disequazione x = 5

 

Esempio:
Risolvere la disequazione
x2 - 2 x + 4 > 0
risolvere l'equazione associata

non esistono soluzioni reali
l'intervallo delle soluzioni della disequazione
(-, +)
cio la disequazione soddisfatta da ogni valore di x reale

 


"Regola dei segni"

La disequazione
A(x) B(x) > 0

soddisfatta dai valori di per i quali
i due fattori A(x) e B(x) hanno segni concordi.

Il primo passo della risoluzione consiste
nello studiare il segno di A(x) e di B(x).

A questo riguardo conviene risolvere separatamente
le due disequazioni A(x) > 0 e B(x) > 0.

Per trovare le soluzioni utile ricorrere
a una semplice rappresentazione grafica:

determinare l'insieme dei valori di x
per i quali il fattore A(x) positivo
A(x) > 0

e di conseguenza l'insieme dei valori di x
per i quali il fattore A(x) negativo

in modo analogo determinare gli insiemi nei quali
il fattore B(x) positivo e negativo

il prodotto A(x) B(x) positivo
negli intervalli nei quali i fattori sono

entrambi positivi (+) (+) = (+)
o
entrambi negativi (-) (-) = (+)


Le soluzioni della disequazione
A(x) B(x) < 0

si determinano in modo analogo:

il prodotto A(x) B(x) negativo

negli intervalli nei quali entrambi i fattori sono

di segno discorde
(+) (-) = (-)
o
(-) (+) = (-)

 


Esempio:

Data la disequazione
(x2 - 1) (x2 - 5 x + 6) (x - 7) < 0

determinare il segno di ciascun fattore:

I fattore: x2 - 1

risolvere   x2 - 1> 0
x (
-, -1) (1, +)

segno di x2 - 1:

II fattore: x2 - 5 x + 6

risolvere   x2 - 5 x + 6> 0
x (
-, 2) (3, +)

segno di x2 - 5 x + 6:

III fattore: x - 7

risolvere   x - 7> 0
x (7,
+)

segno di x - 7:

soluzioni della disequazione data:

La soluzione della disequazione
(-, -1) (1, 2) (3, 7)