,
x Î
(a,b)
Rapporto incrementale
Sia data f : (a,b)
® ,
x Î
(a,b)
il quoziente
è detto rapporto incrementale
Derivata di f nel punto x
Sia data f : (a,b)
®
si definisce derivata di f nel punto x Î (a,b) il numero
purché il limite esista finito
Sia data f : (a,b) ®
se f '(x) è definito per ogni x Î (a,b)
si dice che f è derivabile in (a,b)
f ': (a,b) ®
si chiama derivata prima di f.
Altre notazioni per la funzione derivata sono
Derivata destra di f nel punto x
Sia data f : (a,b) ®
si definisce derivata destra di f nel punto x Î (a,b) il numero
purché il limite esista finito
Derivata sinistra di f nel punto x
Sia data f : (a,b) ®
si definisce derivata sinistra di f nel punto x Î (a,b) il numero
purché il limite esista finito
Derivata seconda di f
Derivata n-esima di f
Sia data f : (a,b) ® derivabile in (a,b).
Se f ': (a,b) ®
è derivabile in (a,b) la sua derivata si indica con f ''
oppure
e si chiama derivata seconda di f
Se il processo si può ripetere n volte
è definita la derivata n-esima di f
indicata con
Tabella delle derivate
di alcune funzioni elementari
f(x) |
f '(x) |
c (c Î |
0 |
xa (a Î |
a x a -1 |
ax (a > 0, a ¹ 1) |
ax · log a |
ex |
ex |
log x |
|
loga x (a > 0, a ¹ 1) |
|
sen x |
cos x |
cos x |
- sen x |
tg x |
1 + tg2x |
arcsen x |
|
arcos x |
|
arctg x |
|
Algebra delle derivate
Siano date f, g : (a,b) ®
derivabili in x Î (a,b)
allora
f + g , f × g , f / g (g(x) ¹ 0) sono derivabili in x
e valgono le seguenti formule
[f + g] '(x) = f '(x) + g'(x)
[f × g] '(x) = f '(x) g(x) + f (x) g'(x)
[k × f] '(x) = k f '(x)
con k Î
Derivata di funzione composta
Siano date f : (a,b) ® derivabile in x Î (a,b) e
g : (c,d) ® con f (a,b) Í (c,d),
g derivabile in f (x)
allora
h = g
f è derivabile in x
e vale la formula
h'(x) = g'( f (x)) × f '(x)
Derivata di funzione inversa
Sia data f : (a,b) ® continua e strettamente monotona
derivabile in x Î (a,b)
f '(x) ¹ 0
allora
g = f -1 è derivabile in y = f(x)
e vale la formula
Significato geometrico della derivata
f '(x0) = tg a
L'equazione della retta tangente nel punto P di ascissa x0 è
y = f (x0) + f '(x0)(x - x0)
Punti di non derivabilità
Punto con tangente verticale
o flesso verticale
Sia data f : (a,b) ® , x Î
(a,b)
si dice che la funzione presenta in x
un punto con tangente verticale o flesso verticale
Punto angoloso
Sia data f : (a,b) ® , x Î
(a,b)
(uno dei due limiti può essere +¥ o -¥ )
si dice che la funzione presenta in x
un punto angoloso
Cuspide
Sia data f : (a,b) ® , x Î
(a,b)
o viceversa
si dice che la funzione presenta in x
un punto di cuspide
Sia data f : (a,b) ®
, x Î
(a,b)
se esiste un numero reale a
tale che per ogni h per cui x + h Î (a,b) si abbia
f (x + h) - f (x) = a × h + o(h) h ® 0
f si dice differenziabile,
a × h si dice differenziale
di f in x
e si indica con il simbolo df (x)
Relazioni tra derivabilità,
differenziabilità e continuità
Relazioni tra estremi
locali
e derivata
Sia data f : (a,b) ® derivabile in x Î (a,b)
se f ha un estremo locale in x
allora
f '(x) = 0
Monotonia
Sia data f : (a,b)® derivabile in (a,b)
f '(x) £ 0 |
Û |
f non crescente |
f '(x) ³ 0 |
Û |
f non decrescente |
f '(x) < 0 |
Þ |
f decrescente |
f '(x) > 0 |
Þ |
f crescente |
Teorema di Rolle
Sia data f : [a,b] ®
f continua in [a,b]
f derivabile in (a,b)
f (a) = f (b)
allora
$ c Î (a,b) : f ' (c) = 0
Teorema di Lagrange
Sia data f : [a,b] ®
f continua in [a,b]
f derivabile in (a,b),
allora
Teorema di De L’Hôpital
Siano date f : (a,b) ®
g : (a,b) ®
f e g derivabili in (a,b)
" x Î (a,b) : g'(x)
¹ 0
allora
Formula di Taylor
Sia data f : (a,b) ®
derivabile n volte in x0 Î (a,b)
con f (0) = f
si dice polinomio di Taylor
di grado n generato da f con centro in x0
con f (0) = f
si dice formula di Taylor
di ordine n relativa alla funzione f con centro in x0
(formula di MacLaurin se x0 = 0)
En(x) = f (x) -
Tn(x)
si dice errore di approssimazione o resto n-esimo
per ogni n Î En(x) = o((x -
x0)n) formula di Peano |
f è derivabile n
+ 1 volte
formula di Lagrange |
Formule di MacLaurin
con resto di Peano
Funzione convessa
Siano I intervallo, I Í
f : I ®
f si dice convessa se
ovvero
per ogni coppia di punti x1, x2 Î
I il segmento di estremi
(x1, f (x1)) e (x2, f
(x2)) non ha punti sotto il grafico di f
Funzione strettamente convessa
Siano I intervallo, I Í
f : I ®
f si dice strettamente convessa se
Funzione concava
Siano I intervallo, I Í
f : I ®
f si dice concava se
ovvero
per ogni coppia di punti x1, x2 Î
I il segmento di estremi
(x1, f (x1)) e (x2, f
(x2)) non ha punti sopra il grafico di f
Funzione strettamente concava
Siano I intervallo, I Í
f : I ®
f si dice strettamente concava se
Convessità, concavità
e segno della derivata seconda
Sia data f : (a, b)®
f derivabile due volte in (a, b)
f ''(x) ³ 0 |
Û |
f è convessa |
f ''(x) £ 0 |
Û |
f è concava |
f ''(x) > 0 |
Þ |
f è strettamente convessa |
f ''(x) < 0 |
Þ |
f è strettamente concava |
Punto di flesso
Sia data f : (a, b)® , x0 Î
(a,b)
f derivabile in x0
x0 si dice punto di flesso
se esiste
un intorno sinistro di x0 in cui f è concava
(convessa)
ed un intorno destro di x0 in cui f è convessa (concava)
la tangente nel punto (x0, f (x0)) attraversa
il grafico di f
