Richiami teorici

Definizione di limite

Siano	f : X Ž , X Í p Î Č {+Ľ, -Ľ} un punto di accumulazione per X l Î Č {+Ľ, -Ľ}
si dice che	"il limite di f(x), per x che tende a p, č l" oppure " f(x) tende a l per x che tende a p "
e si scrive	oppure " f(x) Ž l per x Ž p "

se, per ogni intorno I ( l ) di l,
č possibile trovare un intorno I ( p ) di p,
tale che
per ogni x Î I ( p ) Ç X , x š p
sia f ( x ) Î I ( l )

ossia

" I ( l ) $ I ( p ) : "xÎI ( p ) Ç X \ {p} Ţ f ( x ) Î I ( l )

A seconda che p e l siano numeri reali oppure +Ľ , -Ľ
si hanno vari casi particolari, ad esempio:

pÎ, l Î

" e > 0 $ d > 0 " x Î X : 0 < | x - p| < d Ţ | f(x) - l|<e

p = -Ľ, l Î

" e > 0 $ k > 0 " x Î X : x < - k Ţ | f(x) - l| < e

p Î , l = +Ľ

" k > 0 $ d > 0 " x Î X : 0 < | x - p| < d Ţ f(x) > k

p = +Ľ , l = -Ľ

" h > 0 $ k > 0 " x Î X : x > k Ţ f(x) < - h

Definizione di limite destro

se, per ogni intorno I(l) di l,
č possibile trovare un intorno destro I ⁺(p) di p,
tale che
per ogni x Î I ⁺(p) Ç X , sia f(x) Î I(l)

Definizione di limite sinistro

se, per ogni intorno I(l) di l,
č possibile trovare un intorno sinistro I^-(p) di p,
tale che
per ogni x Î I^-(p) Ç X , sia f(x) Î I(l)

Definizione di limite per eccesso

se, per ogni intorno destro I ⁺(l) di l,
č possibile trovare un intorno I (p) di p,
tale che
per ogni x Î I(p) Ç X , x š p sia f(x) Î I ⁺(l)

Definizione di limite per difetto

se, per ogni intorno sinistro I^-(l) di l,
č possibile trovare un intorno I (p) di p,
tale che
per ogni x Î I(p) Ç X , x š p sia f(x) Î I^-(l)

Aritmetica dei limiti

dove p Î Č { +Ľ , -Ľ}

c f (x) Ž c l₁	per x Ž p, " c Î
[f (x) ą g(x)] Ž l₁ ą l₂	per x Ž p
[f (x) g(x)] Ž l₁ l₂	per x Ž p
[1 / g(x)] Ž 1 / l₂	per x Ž p (se l₂ š 0)
[f (x) / g(x)] Ž l₁ / l₂	per x Ž p (se l₂ š 0)

f(x) Ž +Ľ	per x Ž p	Ţ	1 / f(x) Ž 0⁺ per x Ž p
f(x) Ž -Ľ	per x Ž p	Ţ	1 / f(x) Ž 0^- per x Ž p
f(x) Ž 0⁺	per x Ž p	Ţ	1 / f(x) Ž +Ľ per x Ž p
f(x) Ž 0^-	per x Ž p	Ţ	1 / f(x) Ž -Ľ per x Ž p
f(x) Ž +Ľ g(x) Ž l < 0	per x Ž p	Ţ	f(x) g(x) Ž -Ľ per x Ž p
f(x) Ž +Ľ g(x) Ž l > 0	per x Ž p	Ţ	f(x) g(x) Ž +Ľ per x Ž p
f(x) Ž -Ľ g(x) Ž l < 0	per x Ž p	Ţ	f(x) g(x) Ž +Ľ per x Ž p
f(x) Ž -Ľ g(x) Ž l > 0	per x Ž p	Ţ	f(x) g(x) Ž -Ľ per x Ž p

f(x) Ž +Ľ per x Ž p g(x) limitata (inferiormente o superiormente) in un intorno di p	Ţ	f(x) ą g(x) Ž +Ľ per x Ž p
f(x) Ž -Ľ per x Ž p g(x) limitata (superiormente o inferiormente) in un intorno di p	Ţ	f(x) ą g(x) Ž -Ľ per x Ž p

I casi precedenti autorizzano le seguenti scritture:

f(x) Ž +Ľ g(x) Ž +Ľ	per x Ž p	Ţ	f(x) + g(x) Ž +Ľ per x Ž p
f(x) Ž -Ľ g(x) Ž l Î	per x Ž p	Ţ	f(x) + g(x) Ž -Ľ per x Ž p
f(x) Ž +Ľ g(x) Ž l Î	per x Ž p	Ţ	f(x) + g(x) Ž +Ľ per x Ž p
f(x) Ž -Ľ g(x) Ž -Ľ	per x Ž p	Ţ	f(x) + g(x) Ž -Ľ per x Ž p
f(x) Ž 0 g(x) limitata	per x Ž p	Ţ	f(x) g(x) Ž 0 per x Ž p

Forme di indecisione

+Ľ - Ľ, , , 0 × Ľ

Limite di funzione composta

Siano f : X Ž , g : f (X) Ž

se " I ( l ) $ I ( p ) " x Î (I ( p ) Ç X) , x š p : f (x) š m

Calcolo di limiti

Il calcolo dei limiti che si presentano sotto la forma:

con f(x) positiva per x Ž p

va ricondotto al calcolo di

con a > 0 e a š 1

Forme di indecisione

0⁰, 1 ^Ľ , Ľ ⁰

Limiti notevoli

	per x Ž 0
	per x Ž 0
	per x Ž +Ľ (-Ľ)
	per x Ž +Ľ (-Ľ), " a Î
	per x Ž 0, " a Î
	per x Ž 0
	per x Ž 0, " a Î⁺
	per x Ž 0, " a Î

Continuitŕ

Sia f : X Ž

Se p č un punto isolato di X , si dice che f č continua in p

Se p č un punto di accumulazione di X che appartiene a X, si dice che f č continua in p se

Teorema funzioni continue

Se f : X Ž e g: X Ž
sono continue in x₀
allora

f + g : X Ž č continua in x₀

f ˇ g : X Ž č continua in x₀

Siano f : X Ž e g: Y Ž
con Im f Í Y,

se f č continua in x₀ ed č y₀ = f(x₀),
e se g č continua in y₀
allora

f(g(x)) č continua in x₀

Punti di discontinuitŕ

Discontinuitŕ di prima specie
(a salto)

Sia f : X Ž

e p un punto di accumulazione di X

l š m

allora si dice che f presenta in x₀
un punto di discontinuitŕ di prima specie

Discontinuitŕ di seconda specie

Sia f : X Ž

e p un punto di accumulazione di X

se almeno uno dei due limiti destro e sinistro

č infinito oppure non esiste

allora si dice che f presenta in x₀
un punto di discontinuitŕ di seconda specie

Discontinuitŕ di terza specie
o discontinuitŕ eliminabile

Se f : X Ž

e p un punto di accumulazione di X

se

e f (p) š l o f (p) non esiste

allora si dice che f presenta in x₀
un punto di discontinuitŕ di terza specie o eliminabile

Asintoto orizzontale

Si dice che f : X Ž

presenta un asintoto orizzontale
di equazione y = l

f(x) Ž l Î per x Ž +Ľ (-Ľ )

Asintoto verticale

Si dice che f : X Ž

presenta un asintoto verticale
di equazione x = p

f(x) Ž +Ľ (-Ľ ) per x Ž p⁺ (p^- )

Asintoto obliquo

Si dice che f : X Ž

presenta un asintoto obliquo
di equazione y = ax + b

f(x) - ax Ž b Î per x Ž +Ľ (-Ľ)

Infinitesimo

Sia f : X Ž

e p un punto di accumulazione di X

f si dice infinitesimo per x Ž p se

Infinito

Sia f : X Ž

e p un punto di accumulazione di X

f si dice infinito per x Ž p se

Confronto tra infinitesimi

Siano f e g due infinitesimi per x Ž p

a) f č un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g

b) f č un infinitesimo dello stesso ordine di g

c) f č un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g

d) f e g non sono confrontabili

Confronto tra infiniti

Siano f e g due infiniti per x Ž p

a) f č un infinito di ordine inferiore rispetto a g

b) f č un infinito dello stesso ordine di g

c) f č un infinito di ordine superiore rispetto a g

d) f e g non sono confrontabili

Scala degli infiniti
in ordine crescente per x Ž +Ľ

Il simbolo ~

Si dice che f č equivalente a g
oppure asintotica a g per x Ž p se

e si scrive

f ~ g per x Ž p

Asintotici fondamentali

a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + … + a₁x + a₀ ~ a_nxⁿ	per x Ž Ľ
a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + … + a_r x^r ~ a_r x^r	per x Ž 0
sen x ~ x	per x Ž 0
cos x ~ 1 - x²/2	per x Ž 0
arctg x ~ x	per x Ž 0
log(1 + x) ~ x	per x Ž 0
e^x - 1 ~ x	per x Ž 0
a^x - 1 ~ x log a	per x Ž 0
(1 + 1/x)^x ~ e	per x Ž Ľ
(1 + x) ^a - 1 ~ a x Ů a Î	per x Ž 0

Il simbolo o

Si dice che f č "o piccolo" di g per x Ž p

oppure che f č trascurabile rispetto a g se

e si scrive

f (x) = o(g(x)) per x Ž p